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Théorie

Aérodynamique de base

Le but ici est d'expliquer l'origine de la portance d'une aile ainsi que la traînée, les deux composantes aérodynamiques fondamentales. L'aérodynamique est un domaine compliqué, cette page vous permet d'accéder aux connaissances de base de façon simple, mais pertinente !

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Les facteurs intervenants dans la portance

La portance est tout d'abord une force, qui varie en fonction de plusieurs facteurs :

  • La masse volumique de l'air : plus l'air est dense, plus il pourra créer une force significative. En se plaçant à l'extrême, avec par exemple trois molécules d'air par mètre cube (donc un air très peu dense), on n'aura pratiquement aucun effet.
  • La surface de l'aile : la portance n'est pas réellement une force, mais une infinité de forces qu'on somme en une seule. En chaque point de l'aile, une petite portance existe ; donc plus la surface est grande, plus la portance sera importante.
  • La vitesse de l'air autour de l'aile : plus l'air va vite, plus il crée une force significative. Passez votre main à l'extérieur de la voiture en ville et sur l'autoroute et vous verrez rapidement ce que je veux dire ...
  • La position de l'aile et sa forme dans l'écoulement de l'air : suivant l'inclinaison qu'on donne à l'aile, on obtient plus ou moins de portance. Et pour une même inclinaison, deux ailes de forme différentes ne rendent pas la même portance. Pour quantifier ces deux derniers paramètres qui ne sont ni la densité, ni la surface, ni la vitesse, on a donné une notation : Cz (voir plus loin).

Equation de la portance

Cette équation est la formule qui donne la valeur de la portance en fonction des paramètres précédemment cités. La portance est une force et s'exprime donc en Newton (une masse s'exprime en kilogrammes). De même les paramètres s'expriment dans les unités conventionnelles : la vitesse en mètres par seconde, la surface en mètres, la masse volumique de l'air en kg par mètre cube. Le coefficient Cz est sans unité.

La portance est égale à :

Equation de la portance

Exemple d'une aile dans la situation suivante :

Ecoulement autour de l'aile

Valeurs des paramètres

On obtient pour la portance (que j'appelle ici Z) :

Application numérique

Une telle portance peut donc soulever une masse d'environ 3540 kg.

Si on garde les mêmes valeurs, mis à part le Cz qui passe de 0.2 à 0.5, on obtient une portance de 88500 N. Comme expliqué précédemment, cette variation du Cz est dû à un changement (augmentation) de l'angle illustré sur le schéma (la forme de l'aile est inchangée car on garde la même pendant toutes nos expériences).

Origine de la portance : origine du Cz.

La densité de l'air et la vitesse de l'écoulement sont variables au cours du vol, mais leur variations ne sont pas rapides et ce ne sont pas ces paramètres qui permettent de véritablement piloter la portance de l'avion. Les variations rapides de portance sont dues aux variations rapides du Cz, et donc plus précisément aux variations de l'angle d'incidence (angle alpha dans le schéma précédent).

Par exemple : pour monter, le pilote ne décide pas spontanément d'augmenter la vitesse mais plutôt de tirer sur le manche pour augmenter l'angle d'incidence, donc le Cz, donc la portance.

Si on devait résumer au maximum, l'aérodynamique, c'est l'étude du Cz (et du Cx : voir plus loin). La prise en compte des variations de densité et de vitesse de l'écoulement se rattachent plutôt à la mécanique du vol.

Le coefficient Cz, comme déjà dit plus haut, dépend de deux choses : la forme de l'aile et son incidence (son inclinaison : l'angle alpha) :

Formule du Cz

L'origine physique de ce coefficient est très compliquée. Il y a différents moyens mathématiques de modéliser ce phénomène, mais en réalité, on s'appuie aussi en grande partie sur la pratique pour obtenir des résultats. Par exemple l'agence américaine NACA (ancêtre de l'actuelle NASA) a crée une grande base de données sur des tas de profils passés en soufflerie pour en extraire les caractéristiques.

Dans la conception d'une aile, on part bien sûr de la théorie pour créer les grandes lignes de la forme de l'aile, mais en réalisant les essais en soufflerie, on est amené à la modifier en "bricolant" cette première ébauche.

Voici une approche simplifiée du phénomène :

A un écoulement d'air unidimensionnel uniforme - qui existerait en l'absence de l'aile - une aile ajoute un champ de vitesse modélisé sous forme d'une répartition de tourbillons le long du squelette du profil :

Ecoulement de base

Ecoulements tourbillonaires de l'aile

La superposition des deux situations donne l'écoulement de l'air autour de l'aile. On voit bien que pour les vecteurs vitesses des lignes de courant passant au-dessus de l'aile, une composante supplémentaire s'ajoute du fait des tourbillons, alors qu'elle se soustrait pour les lignes de courant du dessous de l'aile. Au final, les vitesses sont supérieures à la vitesse V0 au-dessus, et inférieures au-dessous.

Une équation de thermodynamique permet de relier ces vitesses à des pressions, c'est l'équation de Bernouilli qui affirme que la quantité

Equation de Bernouilli

reste constante. Donc en comparant les situations à l'extrados (au-dessus de l'aile) à celle de l'intrados (au-dessous) on obtient :

Equation de conservation

Le signe négatif vient du fait qu'on sait que la vitesse à l'intrados est plus faible qu'à l'extrados et on en déduit donc le signe de la différence de pression :

Comparaison des pressions

Plus la différence de vitesse est grande, plus la différence de pression l'est. Et qui dit différence de pression dit force orientée des hautes pressions vers les basses pressions, ici de bas en haut : c'est la portance.

Et tout ceci est bien la contribution du Cz. En effet, la forme de l'aile crée une répartition de tourbillons, et l'intensité de ces derniers varient suivant l'incidence, donc la différence de vitesse varie, donc la pression, donc la force crée : on a donc bien représenté le rôle de Cz.

Je passe sous silence les calculs mathématiques des champs de vitesse et de répartition de tourbillons, mais ils conduisent à l'expression directe du coefficient Cz :

Expression du Cz

On comprend encore mieux le sujet en représentant graphiquement cette équation :

Courbe du Cz

Analyse du graphique :

  • Pour une incidence nulle, on obtient un Cz non nul, égal à Cz0 : c'est la partie du coefficient du à la forme de l'aile uniquement, qui crée une portance même quand l'aile est à plat.
  • L'angle pour lequel le Cz est nul est négatif : à cet angle, la portance est nulle.
  • On ne peut aller au-delà d'une certaine valeur de Cz, ce qui n'était pas prévisible par notre équation (qui vient d'une approche simplifiée), mais qui est bien connu : c'est le phénomène de décrochage.
  • L'évolution en dehors de la zone décrochage est linéaire.

Le phénomène marginal

Jusque là, nous n'avons étudié qu'un profil d'aile, et non une aile proprement dite, en trois dimensions. Le phénomène le plus important venant de cette approche complète d'une aile est le phénomène du tourbillon marginal (en bout d'aile), qui est d'ailleurs à l'origine de la turbulence de sillage. En voici l'illustration :

Tourbillons marginaux

En bout d'aile, plus rien n'empêche l'air de passer directement de l'intrados à l'extrados (des hautes vers les basses pressions), ce qui crée un tourbillon d'air en bout d'aile, et dévie les lignes de courants le long de l'aile.

Ce tourbillon est une perte d'énergie, et résulte donc en une perte de performances. L'expression de Cz, lorsqu'on prend en compte ce phénomène, est donc modifié :

Expression du Cz avec effets marginaux

λ est l'allongement de l'aile. Pour mieux comprendre, voici une aile simple :

Aile rectangulaire

L'allongement peut s'exprimer de deux façons :

Expression de l'allongement

Expression de l'allongement

Dans notre nouvelle expression du Cz, on voit que si l'allongement tend vers l'infini, on retrouve l'ancienne expression. Les planeurs sont l'exemple typique des ailes à grand allongement : ils réduisent l'influence des tourbillons marginaux et donc optimisent les performances de l'aile. La présence de winglets en bout d'aile, est aussi un dispositif visant à casser le tourbillon marginal ou à l'exploiter de façon positive (en lui faisant fournir une petite poussée ou une petite portance).

La traînée

La traînée est la composante de la force aérodynamique qui est parallèle au vecteur vitesse, donc qui s'oppose au mouvement (tandis que la portance est perpendiculaire au vecteur vitesse).

Elle dépend des mêmes facteurs que la portance, excepté le coefficient Cz qui s'appelle maintenant Cx : il joue le même rôle que le Cz mais pour la traînée. Voici donc l'expression de la traînée

Expression de la traînée

Le Cx dépend de la forme et de l'incidence, tout comme le Cz. Et il suit donc l'équation suivante :

Formule du Cx

Mais en général, on n'utilise pas souvent le Cx sous cette forme. On l'exprime plutôt en fonction de la portance donc du Cz, et non en fonction de l'incidence, ce qui donne l'expression suivante :

Formule du Cx

k est un facteur qui change pour chaque aile (de même que Cx0). Cette relation traduit le fait que plus on crée de la portance (en augmentant Cz), plus on crée - en même temps - de la traînée. Cette partie de la traînée (donc le terme k*Cz²) est appelée traînée induite (car induite par la portance).

Paragraphe

Paragraphe

La conjonction portance - traînée : la polaire de l'aile

On vient juste de voir que portance et traînée sont directement liées, et cette relation est fondamentale en aéronautique (pas seulement en aérodynamique). On peut en tirer de multiples résultats très importants.

La polaire est la représentation graphique de la courbe du Cz en fonction du Cx, donc l'évolution de Cz quand Cx varie.

L'équation correspondante est obtenue simplement :

Equation de la polaire

Le graphique est le suivant (les pointillés correspondent au domaine non modélisé par l'équation, mais observé expérimentalement !) :

Courbe de la polaire

J'ai tracé en rouge les droites correspondant à différentes valeurs de Cz/Cx, et le plus grand rapport possible est atteint lorsque la droite est tangente. Le Cz/Cx pour cette tangente est appelé finesse maximale. De façon générale, Cz/Cx est la finesse.

Ce rapport représente bien le rapport portance/traînée :

Rapport portance sur traînée

La finesse est importante car elle représente le rapport entre portance et traînée, et donc à la finesse maximale on aura le meilleur compromis entre portance et traînée. La finesse maximale sert lors de pannes moteur par exemple : en vol plané, c'est en se plaçant à la finesse maximale qu'on parcourra la plus grande distance horizontale en plané. Lorsque les moteurs fonctionnent, la situation de finesse maximale est celle où on consomme le moins de carburant.

Calculons les valeurs de Cz et Cx à la finesse maximale :

La finesse est maximale lorsque sa dérivée s'annule.

Calculs à finesse maximale

Et obtient Cz, une fois avoir trouvé Cx :

Cz à finesse maximale

On a donc aussi l'expression de la finesse maxi :

Finesse maximale

Ces trois paramètres dépendent donc uniquement de Cx0 (ou de Cz0 puisqu'ils sont liées) et du facteur k.

Conclusion

Vous connaissez les principes fondamentaux de l'aérodynamique. Mais en réalité un avion est plus qu'une voilure, l'aérodynamique prend en compte l'influence de toutes les surfaces (fuselage, empennage, ...) ; de plus la voilure est plus qu'un simple profil (volets, propulseurs, formes complexes de la voilure, ...) et elles subit des distorsions en vol. Ce sont autant de paramètres qui font que l'aérodynamique est capable de faire tourner en continu des ordinateurs puissants pendant plusieurs semaines pour obtenir un modèle (approximatif qui plus est !).